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[8074] Re3:四捨五入返信　削除
2014/10/8 (水) 17:06:18 Mr.XRAY
> 下図が実行結果です．

重要なことは，サンプルコードの値を四捨五入した結果が違っていても，
これは文字列に変換した時の現象，問題です．
計算結果としての e, f の値を，次の計算に使用することには何ら問題はない
ことになります．

[8078] 計算結果をバイト値で確認返信　削除
2014/10/9 (木) 12:59:10 Mr.XRAY
>一方，SimpleRoundTo 関数は，元の値を使用して四捨五入します．
>そのために違いが生じることになります．

SimpleRoundTo 関数で使用する元の値を確認してみます．
元の値とは計算式による値のことです．
Delphi XE2 で実装された浮動小数点用レコードで計算結果の値をバイト値
で確認してみました．
図のように，e の値が 1 だけ小さい値になっています．
つまり，FloatToStr(SimpleRoundTo) の結果は，計算結果を正確に反映していると言えます．

[Delphi のデータ型 - RAD Studio]
http://docwiki.embarcadero.com/RADStudio/XE6/ja/Delphi_%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%BC%E3%82%BF%E5%9E%8B#.E6.B5.AE.E5.8B.95.E5.B0.8F.E6.95.B0.E7.82.B9.E3.83.87.E3.83.BC.E3.82.BF.E5.9E.8B

で，Extended 型のレコード型は TExtended80Rec なので，これを使用しています．
動作確認は，Windows 7 U6(SP1) + Delphi XE5 Pro (VCL-32) です．


//-----------------------------------------------------------------------------
//  (1)と(2)の計算式は，数学的には等しく，179.935となる
//  SimpleRoundToの使用にはusesにMathが必要
//  Delphi XE2 で実装された浮動小数点用レコードで計算結果の値を確認
//-----------------------------------------------------------------------------
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
  a,b,c,d,e,f:Extended;
   FF: TExtended80Rec;
   I: Integer;
   StrText : string;
 begin
  a:=389.7;
  b:=94.4;
  c:=30;
  d:=0.35;
  e:=(a+b+c)*d;    //(1)
  f:=a*d+b*d+c*d;  //(2)

  FF := TExtended80Rec(e);
  StrText := '';
  for I := 9 downto 0 do begin
    StrText := StrText + IntToHex(FF.Bytes[I], 2) + ' ';
  end;

  FF := TExtended80Rec(f);
  StrText := StrText + sLineBreak + '';
  for I := 9 downto 0 do begin
    StrText := StrText + IntToHex(FF.Bytes[I], 2) + ' ';
  end;

  StrText := StrText + sLineBreak + sLineBreak +
             FloatToStr(e)+#13+
             FloatToStr(f)+#13+ sLineBreak +
             FloatToStr(SimpleRoundTo(e,-2))+#13+
             FloatToStr(SimpleRoundTo(f,-2));

  MessageBox(Handle, PChar(StrText), '結果', MB_OK);
end;


[8079] Re:計算結果をバイト値で確認返信　削除
2014/10/9 (木) 14:27:31 Mr.XRAY
> つまり，FloatToStr(SimpleRoundTo の結果は，計算結果を正確に反映していると言えます．

   FloatToStr(e)
   FloatToStr(f)
 
は 179.935 になります．
既に述べたように，FloatToStr が有効桁数 15 で丸めをするためと
考えられます．
つまり，今回のサンプルでは，計算結果の違いが 16 桁目以上にあることになります．
実際に [8078] でそのことを確認しました．

[System.SysUtils.FloatToStr - RAD Studio API Documentation]
http://docwiki.embarcadero.com/Libraries/XE6/ja/System.SysUtils.FloatToStr

一方，SimpleRoundTo は，引数の値としても元の値を用いようとします．
その結果ということになります．
当然ですが，以下のように，SimpleRoundTo の丸めの位置を小数点 3 桁目にすると
下図のような結果となります．
 
  FloatToStr(SimpleRoundTo(e,-3)+#13+
  FloatToStr(SimpleRoundTo(f,-3));

[8080] Re2:計算結果をバイト値で確認返信　削除
2014/10/9 (木) 14:37:20 Mr.XRAY
>したがって，以下のように，SimpleRoundTo の丸めの位置を小数点 3 桁目にすると
>下図のような結果となります．

以下のようなコードでも確認できます．
小数点以下，何桁目で丸めをするかということと，
何桁目までを表示するかということとは違うことにも注意します．


procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
  a,b,c,d,e,f:Extended;
  StrText : string;
 begin
  e:= 179.9349;
  f:= 179.9350;

  StrText := FloatToStr(e) + sLineBreak +
             FloatToStr(f) + sLineBreak + sLineBreak +
             FloatToStr(SimpleRoundTo(e,-2)) + sLineBreak +
             FloatToStr(SimpleRoundTo(f,-2)) + sLineBreak + sLineBreak +
             FloatToStr(SimpleRoundTo(e,-3)) + sLineBreak +
             FloatToStr(SimpleRoundTo(f,-3));

  MessageBox(Handle, PChar(StrText), '結果', MB_OK);
end;

179.9349 を小数点 2 桁目で丸めると，179.93 となるのは，
小数点 3 桁目の値が 4 (5 よりも小さい) だからです．
最初に示したサンプルコードでの e の計算結果は，実際には以下のようになっています．
  179.93499999999....
少なくても仮数部 (有効桁数) の 15 桁目までは 9 ということになります．

[8081] というわけで...返信　削除
2014/10/9 (木) 14:53:27 Mr.XRAY
最初に示したサンプルの結果は，結局，

[890_計算誤差 ( 数値計算の誤差 ) と多倍長演算]
http://mrxray.on.coocan.jp/Delphi/plSamples/890_CalcError.htm

の記事の内容が原因ということが分かりました．
たまにある質問なのですが，現在のコンピュータが有限桁数の演算しか
できないというこを理解していないと，数学的に正しい結果でないことが，
疑問となることがあります．

実際問題として，最後の桁の数値が 1 ぐらい違っていても，
数値計算では誤差範囲内と言えます．

ネタ元はメールでの問い合わせですが，例によって，いろいろやってみました．
質問された方が納得するかどうかは不明です (^^;

[8083] Re:というわけで...返信　削除
2014/10/9 (木) 22:33:50 Mr.XRAY
Delphi Forum に，内容をまとめて投稿しておきました．
[数値計算の誤差と四捨五入]
http://ht-deko.minim.ne.jp/delphiforum/?vasthtmlaction=viewtopic&t=1203.0#postid-2404

このような数値計算の誤差による違いを表現できる例というのは，
中々見つかるものではありません．
個人的には貴重なサンプルではないかと思っています．

[8082] Re:計算結果をバイト値で確認返信　削除
2014/10/9 (木) 15:47:49 Mr.XRAY
>Delphi XE2 で実装された浮動小数点用レコードで計算結果の値をバイト値
>で確認してみました．

Double 型であれば，FormatFloat を使用すれば実際の値を確認できます．
数学的な値は，197.935 です．
しかし，これがコンピュータによる計算の結果なのです．
当然ですが，どちらも，小数点 2 桁で四捨五入する(丸めると)
179.93 となります．


procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
  a,b,c,d,e,f:Double;
  strText : String;
begin
  a:=389.7;
  b:=94.4;
  c:=30;
  d:=0.35;
  e:=(a+b+c)*d;    //(1)
  f:=a*d+b*d+c*d;  //(2)

  StrText :=  FormatFloat('000.0000000000000000', e) + sLineBreak +
              FormatFloat('000.0000000000000000', f);
  MessageBox(Handle, PChar(strText), '結果', MB_OK);
end;


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