正弦波というのは不思議な波形です.正弦波は三角関数の正弦関数 (sin 関数)で表現する波形ですが,数学的にも不思議な波形です.
電子回路に正弦波の波形を入力すると,出力も正弦波の波形となります.周波数 (正弦波)
を変えても出力は正弦波のままです.
光学系や X 線作榮敬の入力に,これは透過率が正弦波状に変化すするチャートのことになりますが,この出力もやはり正弦波状となります.周期の異なる正弦波チャート,つまり空間周波数を変えても,やはり正弦波状になります.
ただし,周波数が高くなると出力の振幅は小さくなります.光学系や X 線撮影系では出力の強度差が低くなります.周波数に対してこの振幅の特性を表すことを「振幅特性」と言います.
もう 1 つの現象があります.正弦波の入力に対しては出力も正弦波になりますが,電子回路では出力に時間的なズレが発生します.この現象は空間周波数の場合も発生します.空間周波数では位置がずれることになります.
このズレを位相差といい,正弦関数の角度で表します.角度で表しますから,周波数が低い時は目立ちません.周波数に対して位相差を表した特性を「位相特性」と言います.
電子回路では,位相特性と振幅特性を含めて「伝達関数 (TF)」と言います.光学系や X 線撮影系では OTF ですが,その振幅特性のことを MTF と言います.
扇形 (楔形) のスリットを,円の中心に向けて配置したチャートを撮影した画像で,スリット像の強度が反転している画像を教科書,あるいは参考書で見たことがあるかも知れません.それは,この位相のズレが原因で起こります.
入力が正弦波ではない場合は,波形の周期が短くなると,出力波形は入力波形と同じにはなりません.例えば,入力を矩形波にすると,出力は,電子回路では矩形波とは似ても似つかない波形になります.光学系や X 線撮影系では矩形波と似た波形にはなりますが,矩形波ではなくなります.つまり,矩形波としては伝達されません.
入力と出力の波形が同じになるのは正弦波だけです.
1800 年代の初め,フランスの数学者・物理学者であるフーリェは,自身の熱伝導の研究において,どんな波形も三角関数の級数で表せることを示しました.
これをフーリェの級数展開式等と呼びます.フーリェの級数展開式の各項は周波数成分ですが,これを無限の周波数に拡張して,波形を周波数空間における値 (位相と振幅) とするがフーリェ変換です.
入力波形をフーリェ変換して.伝達関数が分かっていれば出力は計算できることになります.もちろん,周波数空間における計算ですから,実空間としての波形にするには計算が必要です.この計算を逆フーリェ変換と言います.逆フーリェ変換がフーリエの級数展開式に相当します.
当然,入力波形と出力波形のフーリェ変換から伝達関数を計算することもできます.
我々は普通にフーリェ変換を使用し,伝達関数という用語を使用していますが,改めて考えてみると,正弦波は実に不思議な波形で,自然界における基本的な波形と言えます.
物理・工学のあらゆる分野でこの正弦波の性質が使用されています. |